(출처:Pixabay)

방정식은 자연현상을 수학적으로 표현할 수 있는 도구다. 이 방정식을 풀어 수량화하는 작업은 그 자연현상을 실생활에 적용할 수 있는 과학적 또는 공학적 산물로 만들기 위한 필수적인 과정이다. 그런데 방정식이 복잡해지면 그 답을 찾기도 힘들 뿐 아니라 그 답을 수량화하기가 힘들어 그 방정식의 결과물을 분석하기 위해서는 대부분의 경우 수치해석학적인 알고리즘에 기초를 둔 컴퓨터의 연산능력에 의존하게 된다. 그런데 이와 달리 그 해답을 정확하게 찾을 수 있는 방정식들이 있는데 적분가능계(integrable system)의 범주에 속한 방정식들이 그러한 방정식들이다. 이 방정식들은 시간이나 위치가 변해도 대칭성에 의해 변하지 않는 불변의 값이 많아 해를 찾아내기 유리하다. 1877년 등장한 KdV 방정식과 1970년대에 이로부터 파생되어 등장한 BKP 방정식은 각각 낮은 수면에서 물의 파동과 플라즈마에서의 소리의 파동을 기술하는 방정식들로서 비선형 파동의 물리학을 기술하는 핵심적인 방정식들이다.

(모든 KdV 타우 함수에 대해서)
이 단순하게 보이는 정리는 실은 무수히 많은 변수 t = (t_1, t_2, ......)의 서로 다른 2개의 무한급수로 표현되는 BKP 타우함수(왼쪽)와 Kdv 타우함수(오른쪽)사이에 전자를 후자의 단순한 변수 변환, t_i를 t_i/2로의 치환으로 얻어진다는 사실을 나타내는 정리다.

현대 수학의 중요 연구 분야인 ‘적분가능계’를 다룬 순수수학 논문이 종합과학 분야 저명 국제학술지에 실렸다. 기초과학연구원 기하학 수리물리 연구단 알렉산더 알렉산드로브 연구위원의 연구성과가 지난 해 6월 미국국립과학원회보(PNAS)에 게재된 것이다. PNAS는 1914년 최초 출간한 융‧복합 분야 국제학술지로, 순수수학 연구가 종합 과학학술지에 실리는 것은 매우 드문 일이다.

알렉산드로브 박사는 이 두 개의 전통적인 적분가능계 방정식 사이에 존재하는 아름다운 상관관계를 발견하였다. 지금까지는 1980년대 일본 교토학파의 수학자들이 제시한 이론이 수리물리 분야 정설로 여겨져 온 만큼, 이번 연구는 전문가들이 예상치 못했던 놀랍고 아름다운 발견을 이뤄낸 것으로 학계에서 평가받고 있다.

알렉산드로브 박사는 “수학적 개념이었던 ‘적분가능계’ 이론을 물의 파동과 플라즈마에서의 소리의 파동 물리학의 이론에 적용하여 그 과학적 응용 가능성을 확인했기 때문에 기존 순수수학 연구들과 달리 종합과학학술지에서도 관심을 가진 것으로 판단된다.”라고 설명하며, “향후에도 서로 다른 적분가능계 사이의 상관 관계들에 대해서 연구를 계속할 계획이다. 특히 이번에 얻은 결과들을 겔판드-디키(Gelfand-Diki) 적분가능계 계층이라 불리는 KP 방정식의 보다 섬세한 수축화의 레벨로 일반화하려고 한다. 또한, 이러한 적분가능계의 결과물들을 스핀 후르비츠 계수(spin Hurwitz numbers)의 연구와 같은 열거기하학의 문제에도 적용하려고 한다.”고 말했다.

IBS 커뮤니케이션팀
이지영