IBS 도서관 속 과학강의(Science in Library)
- IBS 기하학 수리물리연구단 오용근 단장(수학, 자연을 그리는 언어)


(사회자)
바쁘신 와중에도 도서관 속 과학강의에 참여해 주셔서 감사의 말씀을 드립니다.
도서관 속 과학강의는 한국도서관협회와 기초과학연구원의 지원을 받아서 중부도서관, 울산 지역 대표 도서관으로서 진행하게 되었습니다.
도서관 속 과학강의에 앞서 우리 도서관 도재환 관장님의 인사 말씀이 있겠습니다.

(도재환 관장)
안녕하십니까? 벌써 파란 하늘과 맑은 햇살, 또 상쾌한 바람이 함께하는 가을이 참 좋은 계절인 것 같습니다. 또 기초과학에 관심이 많으신 학생, 청소년, 학부모님들을 모시게 되어 뜻 깊게 생각합니다. 특히 바쁘신 와중에도 오늘의 도서관 속 과학강의를 위해 울산을 찾아주신 기초과학연구원 기하학 수리물리 연구단 단장님이신 오용근 교수님께서 참석해주셔서 정말 감사하게 생각합니다.

수학, 과학이라 하면 대부분 사람들이 어렵다고 생각하는데 그 어렵다는 수학에 대해 오늘 강의해주실 오용근 포항공대 석학교수님은 서울대학에서 수학과를 졸업하시고 미국 위스콘신 대학교 교수를 역임하게 되면서 국제 수학자 중에서 한국인 최초로 강의를 펼치시기도 하셨다고 합니다.
이렇게 훌륭한 수학자 분으로서 수학에 대한 강의를 들을 수 있는 좋은 기회를 갖게 되어 매우 기쁘게 생각합니다.

이번 도서관 속 과학강의는 한국도서관협회와 기초과학연구원이 공동으로 기초과학분야 과학자를 초청해 강의나 질의응답 시간을 갖게 되었습니다.
이로써 기초과학의 중요성을 알리고 주민들의 실제 요구에 부응하는 한편 지역 문화 활성화에 더욱 기여하게 될 것으로 생각합니다. 오늘 오용근 단장님과의 만남의 시간을 계기로 수학하면 재밌고 흥미롭다는 생각을 새롭게 갖게 되었으면 하는 바램입니다. 아울러 우리 도서관을 더 많이 사랑해주시고 환절기 건강에 유의하시기 바랍니다.

(사회자)
잠시 탁자를 내리고 시작하겠습니다.
이어서 오늘 ‘수학, 자연을 그리는 언어’를 주제로 강의를 해주실 오용근 강사님을 소개해드리겠습니다. 오용근 강사님은 서울대학교를 졸업하시고 캘리포니아 대학교 버클리대에서 박사학위를 받으셨습니다. 현재 기초과학연구원 기하학수리물리연구단 단장님이시고 포항공과대학교 석학교수로 재직 중이십니다. 오용근 강사님을 큰 박수로 맞이해주시길 바랍니다.

(오용근 단장)
여러분들을 만나 뵙게 되어 반갑습니다.
오늘 수학 얘기를 하는데 쉽게, 어려운 얘기 안하고 편하게 이야기 할 테니까 혹시 질문 있으시면 강의도중에라도 서슴없이 질문해 주시길 바랍니다.

보통 수학 하면 여러분들이 굉장히 어렵고 복잡하게 생각하게 되는데, 물론 그렇게 생각하게 된 이유는 여러 가지가 있겠지만 우리가 학교에서 수학 공부를 배우는 방법이 너무 바람직하다고는 할 수 없는 방법으로 수학공부를 해 와서 이런 것이 아닌가 하는 생각이 듭니다.
그래서 오늘 강의를 통해서 우리가 수학이 무엇이고 수학을 잘하려면 어떻게 하는 것이 좋을까에 대한 힌트를 조금이라도 줄 수 있었으면 하는 바램입니다.

우선 수학을 한마디로 많은 사람들이 저에게 수학이 뭐냐, 수학에선 도대체 뭘 하느냐 그런 얘기를 많이 듣거든요. 참 난감하긴 한데, 제가 생각하는 수학이라는 것은 우리가 자연을 그리는 언어라고 생각을 합니다.

제가 오늘 강의할 내용을 네 챕터로 나눠봤는데요. 처음에는 수학이 무엇일까?
두 번째는, 그럼 수학을 하는 것이란 무엇일까? 그리고 나서 제가 생각하는 재미있는 수학을 몇 가지 소개하구요. 마지막으로 수학을 즐기면서 잘하려면 우리가 어떤 태도로 해야 할까 하는 것에 대해서 이야기하겠습니다.

그럼 첫 번째로 수학이란 무엇일까?
수학이라는 것은 아까 이야기했지만 저는 언어라고 생각합니다. 우리가 보통 일상생활에서 사용하는 언어를 쓰듯이 우리가 생각하는 생각이나 현상을 설명하고, 보통의 언어는 사람들 사이의 생각의 소통을 요하는 강력한 수단입니다. 보통 언어가 없으면 생각도 할 수 없다고 말합니다.
왜냐하면 생각 자체가 어떤 언어가 있기 때문에 그것을 언어로 표현하게 되는데, 수학도 마찬가지입니다.

우리가 자연의 현상을 보기는 하는데 좀 더 자세하게 이해하려면 그것을 기술할 수 있는 언어가 있어야 합니다. 수학에서 사용되는 언어는 우리가 일상생활에서 사용하는 언어와는 좀 다릅니다.
그 다른 점에 대해서 잠깐 이야기 해보겠습니다. 여기 사람이 걷는 모습이 보입니다. 우리가 눈으로 볼 수 있습니다. 눈으로 보이는 현상을 우리가 ‘걷다’라고 표현하는 것이죠.

다음에 여기 사과가 우리 눈에 보입니다. 먹음직스럽게 보이기도 하고 눈에 확 드러납니다.
그래서 드러나는 이것을 사과라고 표현합니다. 우리가 눈으로 볼 수 있고 그것을 기술하는 단어가 사과입니다. 한 가지 이야기를 하면 사과를 매일 아침 하나씩 드시면 건강에 굉장히 좋다고 합니다. 강력히 추천합니다. 저는 매일 아침에 사과를 두 개 정도 먹습니다.

자, 그럼 여기 숫자 3이 있습니다. 물론 3이라는 글자는 우리가 눈으로 볼 수 있습니다.
그런데 한 번 3이 무엇일까 생각을 해보세요. 3이 무엇일까. 이 3이라는 숫자를 이야기 하는 게 아니고, 3이라는 숫자가 내포하고 있는 그 의미가 무엇인가를 한번 생각해보세요.

예를 들면, 우리야 학교에서 123을 배워서 3이 무엇일까 하면 안다고 생각하는데, 원시시대에 살아있던 원시인들이 아직 인지가 충분히 발달하지 않았을 때, 여기 사과가 있고 나무 3그루가 있고 물고기 3마리가 있습니다.
원시인들이 처음에 이 3개를 놓고서 그 중 누군가가 이 3개에 공통점이 있다는 것을 깨달았을 것입니다. 누군가가 그랬을지는 모르지만, 어쨌든 최초의 사람이 이 3가지 완전히 다른 물체의 그룹 사이에 뭔가 공통점이 있다는 것을 인지했어요.
근데 그 공통점이 무엇인지는 처음에는 ‘아 뭔가 있는데 그게 뭘까?’하는 걸 누군가가 굉장히 생각을 많이 했을 겁니다. 그 공통점이라는 추상적인 개념을 표현한 것이 3이라는 숫자입니다.
3이라는 숫자가 내포하고 있는 의미입니다. 그러니까 숫자 3이라는 자체가 굉장히 추상적인 것이죠.

개념 자체가 답을 딱 알면 쉽다고 생각하지만, 수학문제에서도 답이 딱 주어지면 우리가 안다고 착각을 하는 경우가 많은데, 실제로 그 의미를 가만히 곱씹어 보면 굉장히 어려운 개념이에요.
굉장히 추상적이고 우리 인간의 두뇌 속에서만 존재하는 그런 언어죠. 수학 언어의 일반적인 성격입니다. 수학이 사용되어지는 기호라든가, 수학의 명제 같은 것은 우리 인간의 두뇌 속에서 생각 속에서 존재하는 언어입니다.
눈으로는 쉽게 인지가 안 되고 제가 머릿속에서만 생각해야지만 이해할 수 있는 굉장히 추상적인 언어입니다. 그 언어가 굉장히 우리의 일상생활에 강력하게 작용하고 있는 것이죠.

그리고 원이 있습니다.
이 원이라는 개념이 우리 일상생활에 비슷한 모양은 많이 있습니다. 바퀴도 그렇고 달도 그렇고, 원의 형상을 갖고 있는데 실제로 원이라는 개념도 굉장히 추상적인 것입니다.
여러분들 원이 정의가 뭐에요? 원은 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 집합. 그쵸?

그러니까 완전한 원이라는 것은 세상에는 없습니다. 그 완전한 원이라는 개념이 우리 머릿속에 어떤 추상적인 개념으로 존재할 뿐이지 완전한 원이라는 개념을 세상 속에서 볼 수 있는 것은 아니에요. 수학에서 사용되는 언어들은 물론 우리 세계에서 보여지는 것들에서 비롯되기는 하는데, 이것을 군더더기를 없애고 핵심만 기술하는 그런 것이 수학에서 사용되어지는 언어들입니다.

마침, 가장 수학에서 사용되는 언어와 우리 일상생활에서 생각 되어지는 것 중 가장 비슷하다고 할 수 있는 개념이 돈이라는 개념이에요.
우리가 돈은 물론 종이로 만질 수 있는 돈이라는 것이 있는데, 실제로 그 돈이라는 종이 쪼가리 하나로 세상에서 울고 웃고, 잘살자고 돈이 많이 필요하고, 이 돈 쪼가리가 도대체 뭐길래 우리가 이렇게 울고 웃어야 됩니까? 돈이라는 개념 자체가 실제로 우리 머릿속에서만 존재하는 생각들인데, 그게 우리 일상생활에 아주 강력하게 작용하고 있는 추상적인 개념인 것이죠.

수학에서 사용되는 언어의 개념을 우리가 설명을 했는데 대충 감이 오시죠?
수학에서 사용하는 언어는 우리가 일상생활에서 사용하는 언어와는 좀 차원이 다른 추상적인 단어이다. 우리가 수학을 한다는 것은 또 무엇인가?
한마디로 말해서 수학을 한다는 것은 몇 가지가 있는데, 우선 수학의 언어로 자연을 기술하는 것이죠. 수학적인 언어로 자연을 기술한다. 그렇게 하면 이점이 무엇인가요?
자연에서 일어나는 현상들은 우리가 느끼기는 하는데 그것을 잘 표현해서 다른 상황에서 그것을 적용하려면 우리가 손에 쥘 수 있는 명제가 있어야 하는데, 자연에서 일어나는 현상을 기술할 수 있는 명제를 사용하는 언어가 또 수학이에요.

예를 들면, 뉴턴의 운동 제 3법칙인가요? 그 법칙을 기술하는 .
이 공식은 천체의 두 물체 사이에 작용하고 있는 힘을 정확하게 기술한 공식이에요.
여기서 은 두 물체간의 거리이고, 과 은 두 물체들의 질량을 이야기하고, 는 두 물체 사이의 인력을 이야기합니다. 이 공식은 두 물체가 서로 잡아당긴다는 것을 표현한 것인데, 그 잡아당긴다는 것을 기술하고 있는 게 다름 아닌 이 ‘–’사인이에요.
- 사인이 우리가 자연의 두 물체가 서로 끌어당기고 있다는 것을 표현한 언어죠.
만일 – 가없다면 그 두 물체 사이는 서로 힘이 밀어버린다는 것이죠.
여기서 수학 기호 하나하나 자체가 의미가 있는 것이죠.

그 다음에 여기 또 아인슈타인의 굉장히 유명한 . 이것은 이제 어떤 조그마한 입자가 순간적으로 에너지로 변할 수 있다는 가능성을 최초로 이야기한 공식입니다.
아인슈타인의 이 공식이 없었다면 실제로 우리가 사용하고 있는 원자력발전소나 핵폭탄이나 이런 것에 대한 개념 자체가 없었을거에요.

이 공식을 아인슈타인이 발견하고 나서 비로소, 여기서 보시면 은 입자의 질량이고, 는 빛의 속도, 빛의 속도는 1초에 30만km를 가는데, 예를 들어 1g의 조그마한 입자가 에너지로 변하면 이렇게 커다란 에너지로 변한다는 것을 이야기하는 공식이잖아요.
그 에너지가 순간적으로 확 빨리 변해버리면 폭탄이 되는 것이고, 아주 천천히 변하게 만들면 우리한테 유용한 원자력발전소 같은 것이 되는거죠. 그 가능성을 최초로 열어준 공식이에요.

이 공식을 기술하고 있는 것은 다름 아닌 수학의 언어가 간편하고 조그맣게 표시하지만, 이것의 의미는 상당히 굉장한 것을 내포하고 있는 것이죠. 그 의미 자체가 추상적으로만 있는 게 아니라 실제로 우리일상생활에 강력하게 작용하고 있을 수 있습니다.

그 다음에 또 다른 예가 있습니다. 소위 유명한 Watson&Crick이 발견한 우리 생명체 DNA의 형상이에요. 이 DNA형상이 Double Helix 이중나선형으로 되어있는데 그럼 Watson&Crick이 DNA형상이 이렇게 돼야한다는 것을 어떻게 추측할 수 있었을까요?

1950년에 발견했는데 그 당시에는 지금처럼 강력한 현미경이 있어서 우리 세포를 갖다놓고 볼 수 있는 것도 아니고, 현미경이 있긴 있지만 지금처럼 강력하지 않아서 이 사람들이 DNA모양이 이렇게 돼야 한다고 유추할 수 있었던 것은 몇 사람들이 엑스레이 사진을 많이 찍고 실험 데이터들을 보고, 그것을 수학적으로 여러 측면에서 보면서 여러 가지를 종합해볼 때, 이것이 3차원 공간상에서 DNA가 있다면 도대체 어떤 모양이 될까?를 사람들이 계속 몇 년간 생각한거에요.

이사람들이 결정적으로 이중나선이어야 된다는 것을 생각할 수 있었던 것은 이전에 수학하는 사람들이 기하학적으로 Double Helix라는 기하학적 모형을 생각해서 이미 수학을 하는 사람들에게는 이런 모양이 있고, 이런 모양이 기하학적으로 재미있고 흥미 있는 모양이라는 것을 알고 있었기 때문에 Watson&Crick이 Double Helix 라는 모양을 보니까 정확하게 그 모든 조건들을 만족한다라는 결론을 내려서 DNA의 모양이 Double Helix이어야한다고 유추한 것이죠.

그리고 나서 나중에 현미경이나 엑스라이사진으로 찍어보니까 그렇게 된다는 것이 확정이 됐죠.
이렇게 미리 우리가 수학이라는 것은 항상 이렇게 왜이걸해서 무엇을 하느냐 이런 생각에서 출발한 것이 아니고 인간은 생각하는 동물이기 때문에 우리가 당연히 이런 호기심이나 자연스럽게 나오는 생각들을 쫓아가서 생각해내는 이런 개념들이 나중에 가서 우리 인간생활에 중요하게 역할을 할 수 있다는거에요.

그 다음에 또 한 가지, 여기 멘델의 유전법칙을 아실겁니다.
예를 들면 열성인자와 우성인자가 몇 대를 교배해서 몇 대를 지나가면 나타나는 종이 여러 가지 있는데, 보니까 어떤 규칙성을 가지고 있다는거에요. 그 규칙성이 무엇일까?

멘델은 실제로 수도사였긴 한데 굉장히 자연과학을 공부하고 싶어서 여러 번 대학교가서 시험도 보고 여러 번 실패를 하고, 결국 죽을 때까지 그 사람이 하고자 하는 교사도 못되고 했지만 자기가 가지고 있는 질문에 끊임없이 실험을 많이 했어요.

그래서 완두콩가지고 여러 가지 재배를 해보니까 이런 규칙성이 나타났다는 것이죠.
우성하고 열성인 완두콩이 교배를 해서 1대에서 보니까 전부 빨간 완두콩이 나왔다는 것이죠.
근데 2대에 가보니까 빨간 완두콩이 일부 나오고 하얀 완두콩이 나오는데, 이렇게 어떤 비율을 가지고 나타나는 것이죠.

이 사람이 어떻게 해서 이런 현상이 나타날까를 계속 생각해보니까 ,수학의 확률이 이것을 기술하는데 작용한 것이죠. 실제로 이게 무작위로 일어난 것이 아니고 확률론적으로 등장을 한다는 것을 알게 된 것이죠.

이렇게 멘델의 법칙을 발견하게 된 것도 멘델 자신이 그 전에 수학 공부를 많이 했어요. 이사람이멘델인데, 이 사람이 유전법칙을 발견해서 유전학에 수학적인 토대를 마련할 수 있었던 것도 끊임없이 자연과학과 수학에 흥미가 있어서 공부를 했기 때문이고, 실제로 멘델의 유전법칙을 발견할 수 있었습니다.

그 다음에 지금까지 자연 과학 쪽의 예만 들었고, 수학이 현대 철학에 굉장히 중요한 역할을 하기도 했는데 이 사람이 ‘프레제’라는 수리논리학자입니다.

1 더하기 4는 5이고, 2 더하기 3도 5입니다. 5라는 것은 똑같은데, 실제로 1+4와 2+3이 가지고 있는 의미는 달라요. 똑같은 5를 이야기 하고 있지만, 그 5를 1+4와 2+3은 분명히 다른 개념이에요.

그래서 프레제가 최초로 우리가 일상생활에서 같은 사람이 똑같은 이야기를 하고 있어도 말이 서로 다를 수 있다는 가능성을 이야기했어요.
예를 들어, 어머니가 있는데 영희가 생각하는 어머니하고 철수가 생각하는 어머니가 다르듯이, 똑같은 어머니라도 그 사람들이 생각하는 어머니의 대상과 의미가 다르다는 것이죠.
이것을 철학적으로 토대를 마련한 사람이 비트겐슈타인이에요.

비트겐슈타인은 언어 철학을 창시한 사람인데, 이 사람은 인류 역사상 세계 4대 철학자 중에 한 사람으로 꼽히는 아주 중요한 철학자입니다.
이 사람이 지적한 것은 언어가 없으면 사고를 할 수 없다는 것이죠.
언어가 있기 때문에 생각을 할 수 있고, 수학도마찬가지이죠.


수학에 단어가 없으면 수학적 사고를 할 수 없고, 창출된 정보나 지식을 전달할 수가 없습니다.
이런 예에서 수학은 기초 과학 중의 기초과학이라고 할 수 있습니다.
수학을 한다는 것은 수학의 언어로 우리의 자연현상이나 인간사에서 작용하는 여러 가지 것들을 기술하는 것으로 수학을 하는 것 중에 하나입니다.

그다음에 재미있는 수학, 경이로운 수학에 몇 가지 이야기를 들어보겠습니다.
저는 수학 중에서도 기하학이라는 학문을 하고 있는데, 여러분 기하학이라는 것이 무엇인가요?
물론 여러분이 기하학 하면 머리에 떠오르는 게 있긴 할텐데 전문적인 수학자들이 생각하는 기하학이란 무엇일까를 이야기해보겠습니다.

지금여기 무한급수가 있어요.
무한급수를 하면 이 되는데 물론 공식을 알고 있는 사람은 이 되는 것을 봤을텐데, 이것이 왜 이렇게 되냐는 말이죠.
이것을 대수적으로 증명할 수 있는데, 왼쪽의 그림을 보면 무한급수의 합이 이라는 것을 눈으로 볼 수 있어요.

여기 커다란 사각형이 있잖아요. 한 변의 길이를 1이라고 하고, 그림을 보시면 회색 부분이 있고 검은 부분도 있고 흰 부분도 있죠. 잘 보시면 각각의 부분 면적이 전체의 이라는 것을 알 수 있어요.

왜냐하면 두 번째로 커다란 사각형이 3개가 있는데 회색, 검은색, 흰색 하나씩 있고, 나머지 사각형 안에 똑같은 것이 반복되니까 분명 회색 부분의 면적과 검은 부분의 면적, 흰색 부분의 면적이 당연히 전체면적의 이라는 것을 알 수 있죠. 그런데 검은 부분을 잘 보면 첫 번째 사각형은 전체면적의 이고 두 번째 사각형은 전체면적의 의 이니까 제곱이고, 그다음에는 세제곱이고....
이것을 무한히 더한 것이 검은 부분이 되는 것이죠. 그래서 전체면적 이 됩니다.

때때로 수학을 하다보면 이런 대수적인 문제를 해결하려고 하더라도, 때로는 우리가 기하학적으로 형상화 하면 이런 문제들을 쉽게 풀 수 있는 경우가 종종 있어요.
기하학이라는 것을 한마디로 이야기하면 수학적인 구조인데 그림이나 도형을 이야기하는 것이 아니고, 이 구조를 연구하는 학문을 전문수학자들은 기하학이라고 하고 있어요.

기하학의 대상은 물론 도형이 있을 수 있고 여러 가지 임의의 수학적 구조 자체의 관계를 연구하는 것을 기하학이라고 할 수 있죠. 때로는 그 반대의 경우도 있어요.

기하학적인 정리를 증명하는데 대수적인 방법이 도움을 줄 때도 있습니다.
예를 들면 여기 피타고라스의 정리가 있어요.
모든 분들이 아실거에요.
피타고라스의 정리의 질문이 뭐냐 하면, 세 개의 양수가 있을 때 그 양수가 직각 삼각형의 변의 길이가 되려면 무슨 조건이 필요한가? 입니다.

분명 우리가 아무 세 개의 수를 갖다 놨을 때 그것이 직각 삼각형이 되는 것은 아니잖아요.
그런데 피타고라스의 답이 뭐냐 하면 을 만족해야지만, 이 세 수 는 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있다는거죠.

도대체 왜 피타고라스는 몇 천 년 전에 이런 생각을 하게 되었을까요?
피타고라스의증명은 여러 나라에서 많은 생각을 해서 증명이 굉장히 많아요.
증명의 방법이 여러 가지가 있는데, 한가지 대수적인방법을 보여드릴게요.

그림을 보신 적이 한 번 정도 있을거에요.
예를 들어서 가 직각 삼각형의 세 변의 길이이고 그 직각 삼각형 4개를 이런 식으로 붙이면 큰 정사각형과 작은 정사각형이 있는데, 그 큰 정사각형의 면적을 두 가지 다른 방법으로 계산을 한거에요.

큰 정사각형의 한 변의 길이가 니까 정사각형의 면적 공식에 의해서 이 되는 것이 한가지방법이고, 또 다른 방법으로는 다섯 부분으로 나뉘어져 있잖아요. 각각의 부분의 면적을 합하면 전체 사각형의 면적이 됩니다.
다섯 부분의 면적을 합하면 가 나오니까 이 두 개가 같아야 합니다.
그래서 대수적인 방법으로 하면 마지막 다항식인 가 됩니다. 이렇게 증명할 수도 있습니다.

피타고라스의 정리는 굉장히 기하학적인 증명인데 대수적으로 할 수도 있는 것이죠.
여러분들도 수학의 문제를 생각할 때 중요한 것은 여러 가지 각도로 생각을 해야 합니다.
기계적으로 외우면 다양한 생각을 할 수 없어요. 이런 이야기는 마지막에 좀 더 하겠습니다.

그 다음에 페르마의 마지막 정리라는 것을 들어보신 분이 있을거에요.
정리는 300~400년 전에 페르마라는 수리물리학자가 질문한 것입니다.
질문 자체는 간단합니다.
수학 중에서 굉장히 중요한 것 중의 하나가 정수론이라는 부분인데, 정수론은 우리가사용하는 수의 성질들을 연구하는 학문이에요.

우리가 생각하는 자연수 자체에도 실제로 심오한 성질들이 많이 있는데 이것은 그 중에 한 문제라고 생각하시면 됩니다.
이라는 다항식은 무수히 많은 정수해를 가집니다.
예를 들면 은 9, 은 16, 은 25잖아요. 와 같죠.
똑같이 은 36, 은 64, 은 100이잖아요. 이것도 과 같다는 것을 알 수 있어요.
그 다음을 한 번 생각해보세요.
무수히 많다는 사실이 알려져 있어요.

그럼 자연스럽게 나올 수 있는 질문이 제곱 대신에 세제곱, 네제곱, n제곱을 하면 똑같이 정수근이 있을 수 있을까?입니다.
놀랍게도 페르마는 다음과 같은 예측을 했습니다.
n이 3이상이 되면 이 다항식은 절대로 정수근이 없다는 것을 주장했습니다.
세 개의 경이로운 방법으로 증명 했고 이 사람이 생각하기에도 놀라운 방법으로 증명했다고 생각 했는데, 책의 여백이 충분하지 않아서 적을 수 없다고 죽었어요.

그리고 나서 수많은 수학자들이 증명을 했다는 것을 찾아내려고 시도했는데, 다 실패하고
350년이 지난 95년에야 비로소 ‘앤드류 와일스’라는 프린스턴대 수학교수가 증명했어요.
증명 자체가 300페이지 정도 되는데, 증명은 수학에서 가장 추상적이라고 할 수 있는
수학의 이론을 사용해야지만 증명할 수 있다는 것을 알았어요.

아직도 페르마가 발견했다는 그 경이로운 방법이 무엇일까 하는의문을가지는데대다수의수학자들은분명히착각을했을것이라고생각합니다.

그리고 또 하나 흥미 있는 것은 소수의 성질입니다.
소수는 두 개의 또 다른 정수의 곱으로 표시될 수 없는 수가 소수잖아요. 2, 3, 5, 7, 11, 13....

근데 이 소수들의 아주 흥미로운 현상이 있는데, 두 개의 홀수가 계속해서 소수인 경우가 있어요.
예를 들면 3과5, 5와7, 11과 13, 17과 19, 41과 43, 59와 61...
물론 숫자가 커지면 찾기가 힘들어지는데 보니까 계속 되는 것 같습니다.
어느 순간에 쌍둥이 소수가 멈추는 게 아니고 무수히 계속 되는거에요. 쌍둥이소수는 무한히 많다는 것이 문제인데 이것은 아직도 풀리지 않는 수학의 난제 중 하나입니다.
전문 수학자들도 이 간단한 수학문제를 전혀 어떻게 해야 하는지 모릅니다.

그런데 최근에 중국 무명의 수학자인데, 쌍둥이 소수가 무한히 많다는 것은 증명하지 못했지만
두 개 연달아 계속 되는 소수의 차이가 적어도 7000만보다 작은 쌍은 무수히 존재한다는 것을 증명했습니다.

물론 눈에 잘 안 들어오겠지만 굉장히 중요한 업적으로 여겨지고 있는 결과입니다.
이 결과가 작년에 발표 났는데, 그 이후에 많은 수학자들이 노력해서 7000만에서 600까지 줄였어요. 600보다 차이가 작은 소수의 쌍은 무수히 많다는 것을 증명했어요.
쌍둥이 소수의 차이가 2인 것이 무수히 많다는 것을 증명하면 되는데 그것을 600까지 줄였어요.

그럼 우리가 수학을 즐기면서 잘하려면 어떻게 해야 할까요?
도움이 되는 책 2권을 소개해 드리겠습니다.
하나는 ‘수학의 순간들’이라는 책으로 미국수학회에서 발간한 책인데 이것을 대한수학회에서 번역을 했습니다. 여러분이 대한수학회 홈페이지에 들어가면 이 책에 대해서 얻을 수 있는 방법이나 내용을 볼 수 있을거에요.

이 책은 수학이 현대 생활에서 실제로 어떻게 작용되고 있는지에 대한 107가지 예를 들어서 재미있게 설명을 했습니다. 수학에 관심이 있거나 수학을 해서 무엇을 할 수 있는지 알고 싶다면, 이 책이 많은 도움이 될거에요.
예를 들면 영화의 애니메이션이나 DNA를 어떻게 해독해내는지, GPS가 어떻게 작용하는지 등 이런 여러 가지 일들을 이뤄내는데 수학이 중요한 역할을 하고 있습니다.

두 번째 책은 ‘수학자들’이라는 몇 달 전에 발간된 책인데, 이 책은 프랑스에 IHES라는 수학연구소를 방문한 세계적인 수학자 54인이 쓴 수학 에세이입니다.
각각의 수학자들이 생각하는 수학과, 수학을 하면서 느꼈던 여러 가지 생각들을 적어 놓은 책인데 아주 흥미 있어요. 기회가 된다면 한 번 읽어 보세요.
책 안의 수학자들 이야기를 발췌하여 수학을 즐기면서 하려면 어떻게 해야 하는지에 대해서 이야기 하겠습니다.

‘컨세비치’라는 수학자가 있는데 이 컨세비치는 현대에서 굉장히 중요한 일을 많이 하고 있는 수학자입니다.
지금 IHES에서 산책을 하고 있는 사진인데, 산책을 하면서 생각을 하고 수학을 하는 모습입니다.

수학을 한다는 것이 책상에만 앉아 있으면서 씨름하면 안되고, 때로는 우리 생각을 자유롭게 풀어 놓을 필요가 있어요. 공부하다 보면 느껴보셨겠지만, 책상에 앉을 때 잡념이 들고 집중이 안될 때는 과감히 벗어나서 산책을 하거나 공원을 가면, 그때 비로소 새로운 생각들이 머릿속에 들어옵니다.
때때로 어디서 오는지도 모르는 생각들이 인생에서 중요한 역할을 하는 경우가 있어요.
그런 순간들을 많이 접하려면 산책을 하거나 쉬는 것이 매우 중요합니다.

그리고 이분은 연세가 80가까이 된 굉장히 유명한 수학자 ‘마이클 아티야’라고 하고, 1966년에 필즈메달을 받으셨습니다.
이분은 이렇게 이야기 하셨습니다. 우리가 항상 자연의 경이에 감동하듯이, 무엇이든 할 때 경이로운 생각을 하고 감동을 받은 것에 대한 생각과 질문을 하고 여러 가지 다양한 생각들을 하는 것이 중요하다고 말했습니다.

어느 순간에 영감을 받았으면 그것에 대해서 자꾸 생각해보고 꿈을 자꾸 꿔보는 것이죠.
수학을 할 때 기계적으로만 외우는 것이 아니고 감동이 필요합니다.
공부를 할 때도 새로운 것을 알게 되면 그것에 대해 감동을 하는 이런 감성적인 것이 중요합니다.

그 다음에는 수학을 하는 것을 수수께끼를 풀듯이 생각 할 수 있어야 합니다.
여러분들이 수수께끼를 풀려면 온갖 생각을 하죠. 한 가지 생각으로만 하려는 게 아니고, 문제가 주어졌을 때 금방 해결이 안되면 이런저런 생각을 하면서 훈련해야 됩니다.

자꾸 답을 아는 것이 중요한게 아니고, 수학을 하면서 자꾸 생각을 하면 어떤 일이 일어나면은 두뇌가 발달하게 되어서 수학적인 생각을 할 수 있는 두뇌의 새로운 길이 생깁니다.
두뇌의 새로운 길이 있어야지 문제가 딱 주어졌을 때 해결할 수 있는 역량이 생깁니다.

수수께끼를 풀듯이 우리가 수학 문제를 접하는 것이 도움이 됩니다.
수학 문제를 봤을 때 이걸 풀 수 있는 공식이 무엇인가 생각하면 수학의 발전이 없어요.
그렇게 되면 수학을 다 외워야 합니다. 그 많은 공식을 어떻게 다 외웁니까?

수학에는 핵심이 되는 몇 가지 공식이 있고, 그 나머지는 자연스럽게 연쇄반응이 일어나야합니다.
수학을 잘 하려면 연쇄반응이 일어날 수 있는 기본적인 원리를 완전히 꿰고 있어야 합니다.
기본적인 것을 잘 이해하는 것이 수학을 잘하는 지름길이라고 할 수 있습니다.

그 다음에 이 사람은 여성 수학자인데요, 뭔가 굉장히 호기심 있고 의문을 가지고 있는 표정이잖아요. 수학을 할 때 무엇이든 창조적인 일을 할 때 중요한 것이 무엇이냐면 이런 호기심을 갖는거에요. 우리가 어떤 일을 할 때 호기심을 따라서 나아가는 것이 창조적인 생각을 하는 데 가장 중요합니다.

하고자 하는 일도 호기심을 채워줄 수 있는 분야로 전공도 선택하고 장래를 생각하는 것이 좋습니다. 부모님이 하라는 것보다는 자기가 가장 좋아하는 것이 무엇인가, 즐겁게 잘 할 수 있는 것이 무엇인가를 생각하는 것이 중요합니다. 인생을 70년 정도 사는데 그것을 즐기면서 살아야 하지 않겠습니까?

그 다음에 수학을 할 때 가장 중요한 것 중 하나가 집중을 하는 것입니다.
공부를 할 때 특히 수학 문제를 풀 때는 문제에 집중을 해야 하는데,
하다가 안된다고 포기하지 말고 이렇게도 생각해보고 저렇게도 생각하면서 그 문제를 풀려고 부단한 노력을 해야 합니다.

이 수학자는 ‘알란 콘’이라는 수학자인데 이분도 82년에 필즈상을 받았습니다.
보시면 공식이 이렇게 있는데, 이 사람이 공식을 써내려면 얼마나 집중을 했겠습니까?
보고 쓴 것이 아니고 머릿속에 있는 것을 논문을 쓰면서 쓴거에요.
집중을 하면서 생각했기 때문에 가능한 것입니다.

그 다음에는 보통 생각하기 어려운 것인데요.
수학을 잘하려면 물론 다른 것도 마찬가지이지만, 다른 사람과의 소통도 굉장히 중요합니다.
우리가 수학 문제를 풀면 그것이 맞는지 안 맞는지 알 수 없기 때문에, 확인하려면 다른 사람과 대화를 하고 질문을 하고 교류를 해야 합니다.
여러분이 수학을 할 때도 혼자서 잘 안되는 것을 혼자서 해결하려는 것 보다 친구들에게 물어보고 대화를 하고 선생님들께 질문해야합니다.

요새는 많이 변한 것을 느끼게 되는데, 한국 학생들이 선생님께 질문을 안합니다.
물론 여러 가지 이유가 있겠지만, 질문을 안 하고 나중에 혼자 가서 질문하죠.
이런 식으로 하면 시간 낭비가 되는거에요. 수업시간에 잘 안 들으면 그 다음 것을 이야기해도 이해가 안되거든요.
이해가 안 되면 그 순간을 놓치지 말고 질문하세요.


자, 여기까지입니다.
경청해 주셔서 감사합니다.

질문 있으십니까?

(질문자 1)
아까 설명 중에 1+4는 5, 2+3은 5라고 하셨는데, 구체적인 차이를 설명을 해주시겠습니까?

(오용근 단장)
1+4라는 명제하고 2+3이라는 명제가 있는데, 그 값은 같지만 의미가 다르잖아요,
1+4는 하나와 넷을 더한 것이 5이고
2+3은 두 개와 세 개를 합한 것이 5입니다.
5가 이루어지게 되는 과정이 다르다는 것이죠.

(질문자 2)
오늘 학생들이 많이 왔는데, 지금 시대에는 수학을 비중 있게 하는데
조선 시대 때는 수학 교육을 어떻게 했고 비중이 어떻게 되는지 알려주세요.

(오용근 단장)
한국 수학 역사에 대해서는 잘 모르겠네요.
근데 조선시대에는 항상 책 읽고 시 쓰고 이런 것에 주안점을 두어서 사실 수학에 대해서는 교육을 잘 못 받았잖아요.
그 때는 어땠는지 정확히 잘 모르겠네요.

또 없습니까?

(질문자 3)
중고등학생 학부모입니다.
학생들이 수학 문제를 많이 풀잖아요.
외국 아이들은 어떻게 수업을 하는지 궁금합니다.
우리나라에 수학을 포기하는 아이들이 많은데, 어디서 보니 우리나라에서 수학 포기를 해도 외국에 가면 수학을 정말 잘 하는 아이들에 속한다고 하는데 진짜인가요?

(오용근 단장)
제가 느끼는 우리나라 현재 수학 교육의 문제 중 선행학습이 우리나라 학생들의 수학 학력이 떨어지는 치명적 요인이라고 생각합니다.
수학개념이 인지의 발달에 따라서 쉽게 받아들일 수 있는 재능이 있는데, 너무 어릴 때 가르쳐 놓아서 수학의 개념을 이해 할 수가 없어요.
물론 그중에 천재적인 아이들이 있긴 하지만, 대부분의 일반 사람들은 두뇌 발달에 따라서 수학을 학습해야하는데 선행학습을 하면 이해가 안되니까 외울 수밖에 없죠.
그 많은 것을 어떻게 외웁니까?
수학은 생각하는 재미로 하는 것인데 나이에 따라서 과정을 차근차근 해야합니다.

미국 같은 경우에는 반대입니다.
우리나라는 반복적인 학습인데, 미국 수학교육의 문제점은 반복을 너무 안합니다.
개념을 습득하기 위해서는 연습문제를 어느 정도 반복적으로 풀어서 머리에 박히게 해야 하는데
그 과정을 너무 안합니다.

(질문자 4)
추천해주신 책 2권은 어느 정도 수준인가요?

(오용근 단장)
하나는 아무나 볼 수 있는 수필집이고,
하나는 수학이 현대생활에서 실제로 어떻게 사용되어지고 있는가에 대한 책입니다.
고등학생수준이면 재미있게 읽을 수 있을거에요.

(질문자 5)
수학뿐만이 아닌 모든 학문에서 강의해 주신대로 공부를 해야 할 것 같아요.
하지만 아이들은 학교성적이나 경쟁, 이런 것이 있기 때문에 반복을 안 할 수가 없어요.
아이들 문제가 아니고 학교가 바뀌어야 될 것 같다고 생각합니다.

(오용근 단장)
우리나라의 모든 문제들이 어디서부터 풀어야 하는지 모르는 것이 문제이죠.
어렵네요.
제가 생각하는 왕도는 학교에서 하는 과정을 따라가서 기본적인 개념을 확실히 이해하고 차츰차츰 쌓아 가면, 즐기게 되고 갈수록 쉬워지게 됩니다.
기초를 확실하게 해서 두뇌를 훈련하게 되면 새로운 것을 받아들이는 게 훨씬 쉬워요.
제가생각하기에는 선행학습을 박탈해야합니다.

(질문자 6)
단장님께서는 저희처럼 학생 때는 주입식 교육이었을텐데, 어떻게 해서 기초과학에 관한 일을 하시게 되었는지 궁금합니다.

(오용근 단장)
저는 어릴 때부터 수학 문제 푸는 것을 좋아했어요.
그 당시에는 게임기가 보편화 되어 있지 않았고, 기껏해야 만화정도 있었어요.
만화는 많이 봤지만, 할 게 없으면 심심하니까 수학문제를 풀었어요.
부모님들이 다른 것을 하길 원하셨지만, 저는 제가 하고 싶은 것을 했어요.

미국에서 가장 만족도가 높은 직업을 설문조사를 최근에 했는데, 수학자가 1위가 나왔어요.
가장 자기 시간이 많고, 자유로운 생각을 하면서 살 수 있기 때문이라고 합니다.
전문 수학자가 되면 여행을 많이 다녀야하거든요.
학회도 가고 세계의 많은 사람들을 만나야하기 때문에 굉장히 자유롭게 살 수 있어요.
그래서 혹시 수학에 관심이 있고 재능이 있다고 생각한다면, 적어도 대학교 때까지는 수학 전공을 하는 것이 좋습니다.
그 이후에 그만두더라도 절대 시간 낭비 하는 것이 아니에요.
수학을 하면 대학원 이후를 갔을 때 자연 과학을 전공하는 데 도움이 됩니다.

미국에서는 모든 분야의 수학 전공 학생들이 다른 분야로 나갈 수 있는 확률이 높아요.
실제로 학계 쪽으로 안나가더라도 다른 할 수 있는 일들이 많습니다.
특히 ‘수학의 순간들’ 그 책을 보면 수학을 해서 할 수 있는 여러 가지 일들을 많이 이야기 하고 있습니다.

(질문자 7)
소리가 작아 내용을 파악하기 어려움.


(오용근 단장)
중고등학교 수학을 생각할 때도 똑같은 문제를 생각하면 당연히 패턴이 있어서 패턴을 따라서 하는 것이 효율적이겠죠.
그런데 갑자기 다른 문제가 주어졌을 때 해결할 수 있는 여러 가지 생각을 해봐야죠.
옛날 대학교 입시가 있을 때는 아무리 수학 공부를 여러 가지 해도 대학 교수님이 전혀 예상하지 못하는 문제를 내기도 했습니다.
예기치 않은 문제가 주어졌을 때 해결할 수 있는 능력을 기르려면, 기본적인 길만 따라서 가면 안되고 이런 생각도 해보고 저런 생각도 해봐야합니다.
수학을 하더라도 책도 읽고 음악도 듣고 그림도 그려보면 그런 능력이 생길 수 있죠.

(질문자 8)
저희 같은 경우는 토론식이 아니고 강의식으로 수업을 하고 있는데, 수업을 토론식으로 진행한다면 우리나라 실정에 맞을 것 같나요?
성적이 어느 정도 나와야 하는데 토론식으로 한다면 난해할 것 같아요.

(오용근 단장)
우리나라 입시가 있기 때문에 현실적으로 학생 전체들한테 시도하기에는 어려울 것 같습니다.
관심 있는 학생들을 모아놓고 하거나, 수업시간이 4시간이면 1시간 정도는 토론식으로 진행하는 것이 좋을 것 같습니다.

(질문자 8)
학생들이 굉장히 힘들어하는데, 며칠 만에 몇 백 문제를 푼다 이런 것은 말이 안되는 것 같아요.
근데 안풀면 입시세계에서 학생들이 못 따라 가거든요.
그건 부모 입장에서 너무 안타까운 것 같아요. 토론식 수업도 하면 좋은데....

(오용근 단장)
일주일에 1시간정도는 토론식으로 진행하는 것도 좋지 않을까요?

예를 들어서, 학생들이 200문제를 풀어야지 입시를 잘할 수 있다....
과연 그것이 사실일까 의문이 들어요.
그렇게 한다고 과연 입시에서 잘할 수 있을까....

학교 전체적으로 바꾸면 참 좋은데...

(질문자 9)
기초과학에 관심이 있는 아이들이 있잖아요.
기초과학을 공부하는 애들이 나중에 커서 사회에 나갔을 때 실제로 기초과학에 대한 대우가 어느 정도 되는지 알고 싶습니다.

(오용근 단장)
기초과학에 대한 대우 자체는 상당히 좋습니다.
기초과학을 전문적으로 하면 우리나라에서는 대우가 상당히 좋다고 생각합니다.
독일에 가면 ‘막스플랑크연구회’라고 센터가 독일 전역에 걸쳐서 200개정도가 있어요.
수학, 물리, 화학, 생물 이런 것이 있는데, 그것을 벤치마킹한 것이 기초과학연구원입니다.
계획이 50개의 연구센터를 만들겠다는 취지로 시작을 해서, 현재 21개의 센터가 한국 곳곳에 있습니다.
그런 것만 봐도 기초과학에 대한 관심이 옛날보다 훨씬 많다는 것을 알 수 있습니다.
기초과학에 관심이 있으면 마음 놓고 그쪽으로 나가고, 부모님들은 걱정 안하셔도 될 것 같아요.

(사회자)
질문 더 없으신가요?
그럼 이상으로 열심히 강의해주신 오용근 단장님께 큰 박수 부탁드립니다.